Na gut, fangen wir an. Ist glaube ich noch eine Minute zu früh, aber egal.

Ja, wir haben ja beim letzten Mal uns mit der Stabilität von Zeitschritte-Integrationsverfahren beschäftigt

und hatten zunächst einmal gesehen, dass es ausreicht das Integrationsverfahren an einem Einfreiheitsgrad-System zu untersuchen

und da reicht das ungedämpfte freie System, also einfach diese Differentialgleichung hier, für einen Ein-Freier-Grad-Schwinger ohne Dämpfung.

Gut, und wir hatten das am zentralen Differenzenverfahren uns angeschaut, da haben wir die Verfahrensvorschrift, also die Integrationsvorschrift angegeben

und haben dann so eine Art Zustandsvektor eingeführt, weil wir gesehen haben, der neue Zeitschritt yt plus delta t hängt halt von den letzten beiden ab.

Ja, und dann kann ich das Verfahren halt so hinschreiben, dass ich sage, ich habe also die letzten beiden, ja, und die werden auf die nächsten beiden projiziert,

im Prinzip wie so eine Abbildung, ja, in der ich diese Matrix hier oder diese Verfahrensvorschrift, diese Matrix verpacke, ja, und hier steht halt die Identität.

Das ist so etwas wie eine Art Zustandsraumdarstellung tatsächlich und stellt eine Punktabbildung dar, also ich gehe von einem Zeitpunkt t zu einem nächsten Zeitpunkt t plus delta t

und jetzt kann man eine Stabilitätsuntersuchung machen, indem ich die Eigenwerte dieser Verfahrensmatrix C untersuche.

Das ist also genau das Gleiche, was wir bei den parametererregten Schwingungen gemacht haben. In der TSL, ja, da hatten wir auch so eine Punktabbildungsmatrix

und man konnte dann die Stabilität oder Instabilität des Verfahrens daran ablesen, wie groß die Eigenwerte dieser Verfahrensmatrix, dieser Punktabbildungsmatrix sind

und dann gilt halt, wenn das my betragsmäßig alle Eigenwerte kleiner eins sind, dann ist das Verfahren asymptotestabil,

was nichts anderes bedeutet, als dass es irgendwie zur Ruhe kommt, was für die Schwingungen jetzt bedeutet, sie ist gedämpft,

oder irgendein my betragsmäßig größer eins, dann haut das ab, was nichts anderes bedeutet, dass die Schwingung sozusagen angefacht ist, künstlich, numerisch,

und was man eigentlich haben möchte für ein Verfahren ist eigentlich gerennstabiles Verhalten, ich möchte keine künstliche Anregung und keine künstliche Dämpfung haben,

also ich möchte eigentlich die Eigenwerte sollen bei eins liegen. Gut, hier für diese einfache Verfahrensmatrix hier kann ich die Determinante schnell ausrechnen

und man hat damit die Eigenwerte. Und wenn man sich die anschaut, jetzt plotet, dann sehe ich, ich habe hier zwei Eigenwerte, die sind zunächst einmal hier komplex am Anfang,

ja, hängen von diesen Parameter Omega mal Delta t, also von der Eigenkreisfrequenz und der Zeitschrittweite, die ich gewählt habe,

ich habe hier zwei konjugiert komplexe Eigenwerte bis zu dieser Grenze hier, das heißt, wir haben den gleichen Realteil und hier den Imaginierteil mit entgegengesetzten Vorzeichen,

betragsmäßig sind die beide eins bis zu dieser Bifurkationsgrenze, ja, und das ist natürlich genau das, was man sehen möchte eigentlich,

ja, ich habe also diese Grenzstabilität, das heißt, ich habe keine Dämpfung und keine Anfachung bis zum Punkt Omega Delta t gleich zwei,

ja, hier werden aus dem konjugiert komplexen Paar zwei reelle Eigenwerte, ja, der Imaginierteil wird dann hier null, der verschwindet,

und wenn man sich die Realteile anschaut, dann ist das gerade der Punkt, dass hier halt einer betragsmäßig kleiner eins ist, aber der andere betragsmäßig größer eins,

also der ist jetzt größer oder kleiner als Minus eins, ja, oben sind die Beträge aufgeteilt, das heißt, ab diesem Punkt Omega Delta t gleich zwei,

also wenn ich jetzt sozusagen das größere wähle, habe ich instabiles Verhalten, und das war genau dieser Punkt, den wir bei diesem Beispiel gesehen haben,

wenn ich die Zeitschrittweite im expliziten Integrationsverfahren zu groß wähle, explodiert das, da kommt nur noch Quatsch raus, ja, das heißt, die Amplituden gegen unendlich,

und was dieses Verfahren halt nicht besonders schön macht, ja, ich habe also diese sogenannte bedingte Stabilität, es gibt eine kritische Zeitschrittweite, ja,

also das Omega Delta t darf nicht größer als zwei werden, also der Delta t darf nicht größer werden als zwei durch Omega,

und wenn ich jetzt hier ein System habe mit mehr als einem Freiheitsgrad, ja, dann ist das kritische Omega das größte Omega, was in dem System ist,

also ich muss mir sozusagen alle Eigenwerte anschauen in meinem System, und das größte Omega entscheidet sozusagen über die kritische Zeitschrittweite, ja,

und das ist nicht besonders schön, ja, weil typischerweise finde ich, wenn ich ein großes FE-System habe, mit sehr, sehr vielen Freiheitsgraden ist das höchste Omega,

ja, das ist irrsinnig hoch, was bedeutet, dass das Delta t kritisch typischerweise irrsinnig klein ist, ja, das heißt also ich kann nur sehr, sehr kleine Zeitschritte machen,

und damit ist dieses explizite Zeitschritt-Integrationsverfahren für Schwiegungsuntersuchungen, für Strukturdynamik praktisch unbrauchbar, ja, also das dauert halt ewig,

obwohl der einzelne Zeitschritt extrem billig ist, halt, wenn ich eine Punktmassenmatrix habe, ja, kommt dieses Verfahren aber für Strukturdynamik trotzdem normalerweise nicht zum Einsatz, ja,

sondern ist halt typischerweise gedacht für hochgradig nicht-lineare Systeme, wo ich ohnehin um die ganzen Nicht-Linearitäten aufzulösen einen winzigen Zeitschritt brauche, ja,

also Crash-Simulation oder Umform-Simulation sind die typische Anwendung. Soweit waren wir beim letzten Mal gekommen, was die Stabilität angeht,

und jetzt kann man genau den gleichen Quatsch in verschiedenen Formen auch natürlich für das Newmark-Verfahren machen,

also auch hier kann ich mir die Newmark-Ansätze hinschreiben, ja, also das ist dieser Ansatz, ich sag das Y zum Zeitpunkt T plus Delta T hängt jetzt ab von dem Y zum Zeitpunkt T, dem Y Punkt,

dem Y Punkt, ja, dem Y Punkt 2 gepunktet und diesem, der Beschleunigung am Ende des Zeitschritts, die ich ja noch gar nicht kenne,

und genauso habe ich das für die Geschwindigkeiten, ich mach genauso einen Ansatz mit diesem Mittelwert hier, ja, 1 minus 2 Beta und 2 Beta für die Beschleunigung,

einmal für die Verschiebungslösung, einmal für die Geschwindigkeitslösung, wobei das Besondere an dem Newmark-Verfahren halt ist, dass ich das Beta und das Gamma zunächst einmal unabhängig voneinander wählen kann, ja,

ich kann mit zwei verschiedenen Mittelwerten sozusagen arbeiten. So, wenn ich das jetzt auch auf diese Verfahrensvorschriften, so eine Punktabbildung bringen will, dann ist eine Möglichkeit,

dass ich mir die Bewegungsdifferentialgleichungen jeweils hinschreibe zum Zeitpunkt T und T plus Delta T, die sollen ja erfüllt sein, dann setze ich diese Ansätze ein,

dann kann ich das umformen hier, ja, kann ich nämlich das Y2 gepunktet jeweils eliminieren, schreibe mir das ein bisschen um und habe dann hier drüben stehen Yt plus Delta T,

hier nochmal und hier das Y Punkt T plus Delta T und hier drüben nur noch das Yt und das Y Punkt zum Zeitpunkt T, ja, und jetzt kann ich tatsächlich sowas machen wie wieder eine,

auch so eine Punktabbildung, führe jetzt als mein Zustandsvektor tatsächlich Y und Y Punkt zum Zeitpunkt T ein und dann kann ich mir das Y und Y Punkt zum Zeitpunkt T plus Delta T

über diese Beziehung ausrechnen, jetzt habe ich halt zwei Matrizen, ja, aber ich kriege das natürlich sofort, indem ich diese Matrix hier invertiere und hier vormultipliziere,

habe ich genau so eine Darstellung, wie ich das eben für das zentrale Differenzenverfahren habe, ja, also es funktioniert im Prinzip ganz genauso und auch da kann man jetzt die Eigenwerte analysieren,

die Rechnung ist, weil ich die Inversa, die ist halt extrem lang, wenn man das von Hand macht, ja, man kann die Eigenwerte hinschreiben in der Form als dieses a1 plus minus Wurzel,